ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಉಪ್ಪುನೀರಿನ ಸಾಧನೆ!

ಅಂಕಣ – ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ವಿಜ್ಞಾನ

• ರೋಹಿತ್ ಚಕ್ರತೀರ್ಥ, ಚಿಂತಕರು, ಲೇಖಕರು

ಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಸಾಲ್ವಿಂಗ್ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಾಬ್ಲೆಮ್ ಸಾಲ್ವಿಂಗ್ ಎನ್ನುವುದೇ ವಿಜ್ಞಾನ/ಗಣಿತ ಲೋಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವಿಷಯ. ಅಂದರೆ ಸಮಾಜ ವಿಜ್ಞಾನ, ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತ ಎಂದೆಲ್ಲ ಹೇಳಿದಂತೆ ಇದು ಕೂಡ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುವ ವಿಷಯ. ದುರಂತವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಭಾರತದ ಯಾವುದೇ ಶಾಲೆ/ಕಾಲೇಜುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಬ್ಜೆಕ್ಟ್ ಆಗಿ ಇಂದಿಗೂ ಕಲಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ (ಇದರ ಒಂದು ಉಪವಿಭಾಗ ಎನ್ನಬಹುದಾದ ಕಾಂಪ್ಯುಟೇಶನಲ್ ಥಿಂಕಿಂಗ್ ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಿಬಿಎಸ್‌ಇ ಈ ವರ್ಷ ತನ್ನ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದೆ). ಯುಕ್ತಿ ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣಿತದ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ನಿಮ್ಮ ಮನೆಗೆ ಪ್ರತಿದಿನ ಹಾಲು ಹಾಕಲು ಬರುವ ಕುಸುಮಕ್ಕ ಅಲ್ಲೇ ಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ಕಡ್ಡಿಯಿಂದ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾಳೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾಲ್ಕು ದಿನ ಹಾಲು ಹಾಕಿದವಳು ಗೋಡೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಪಕ್ಕ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆದು, ಐದನೇ ದಿನ ಆ ನಾಲ್ಕು ಗೆರೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ‘ಒಂದು ಕಟ್ಟು’. ಹಾಗೆ ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಗೆರೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಹಾಕಿ ಅವಳು ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುತ್ತ ಬರುತ್ತಾಳೆ. ಮೂವತ್ತು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ದಿನವೂ ಆಕೆ ಹಾಲು ಹಾಕಿದ್ದರೆ ಗೋಡೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಆರು ಕಟ್ಟುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಎಷ್ಟು ಕಟ್ಟುಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿಕೊಂಡು ಕುಸುಮಕ್ಕ ತಿಂಗಳ ಕೊನೆಗೆ ಹಾಲಿನ ದುಡ್ಡನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಈ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಮೂಲತಃ ಯುಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದು. ಕುಸುಮಕ್ಕನ ಪ್ರತಿ ದಿನದ ಗೆರೆ ಹಾಕುವ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ಅವಳ ತಿಂಗಳ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಸುಲಭ ಮಾಡಿತು ಅಲ್ಲವೆ?.

ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಾಟೊಸ್ತನೀಸ್ ಎಂಬ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬಹಳ ಹಿಂದೆ ಒಂದು ಚಟುವಟಿಕೆ ಮಾಡಿದ. 2ರಿಂದ 100ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಒಂದು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದುಕೊಂಡ. ನಂತರ 2ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, 2ನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು, ಅದರ ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿದ. ಅಂದರೆ 4, 6, 8, 10, …, 98, 100 – ಇವಿಷ್ಟೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಳಿಸಿಹೋದವು. ನಂತರ 3ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು) ಅದರ ಎಲ್ಲ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 6, 12, 18, … ಎಂಬುದೆಲ್ಲ ಈಗಾಗಲೇ ಅಳಿಸಿಹೋಗಿದ್ದವು. 9, 15, 21, … ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈಗ ಅಳಿಸಿಹೋದವು. ಈ ಸಂಖ್ಯಾಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ 4 ಈಗಾಗಲೇ ಅಳಿಸಿಹೋಗಿದೆ. ಮುಂದೆ ಇರುವುದು 5. ಅದನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡು, ಅದರ ಎಲ್ಲ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಿದ. 10, 15, 20 ಈಗಾಗಲೇ ಅಳಿಸಿಹೋಗಿದ್ದವು. 25, 35, 55 – ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈಗ ಅಳಿಸಿಹೋದವು. ಹೀಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಾಟೊಸ್ತನೀಸ್ 100ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯವರೆಗೆ ಮಾಡಿನೋಡಿದಾಗ, ಆ ಸಂಖ್ಯಾಸಮೂಹದಲ್ಲಿ 25 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದ್ದವು. ಅವು 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು 1 ಮತ್ತು ಅವೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತು ಪಡಿಸಿ ಬೇರಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಕಗಳೂ ಅಲ್ಲ. ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಎರಾಟೊಸ್ತನೀಸನು ಮಾಡಿದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜರಡಿ ಹಿಡಿಯುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ನಮಗೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ 1ರಿಂದ 100ರ ವರೆಗಿನ ಒಟ್ಟು 25 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಿಕ್ಕವು. ಇವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಬಳಸಿದ್ದು ಯುಕ್ತಿಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು.

ಪ್ರಶಿಯ ದೇಶದ ಕಾನಿಗ್ಸ್ ಬರ್ಗ್ ಎಂಬ ಊರಲ್ಲಿ ಪ್ರೆಜೆಲ್ ಎಂಬ ನದಿಯೊಂದು ಹರಿಯುತ್ತಿತ್ತು. ಆ ನದಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನಡುಗಡ್ಡೆಗಳೂ ಇದ್ದವು. ಆ ನಡುಗಡ್ಡೆಗಳನ್ನು ನದಿಯ ಇಕ್ಕೆಲದ ಭೂಮಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲು ಒಟ್ಟು ಏಳು ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟಲಾಗಿತ್ತು. ಈ ಒಟ್ಟು ಪರಿಸರದ ಯಾವುದೇ ಭೂಭಾಗದಿಂದ ಶುರುಮಾಡಿ ಎಲ್ಲ ಏಳು ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಾರಿ ಮಾತ್ರ ದಾಟಿ ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು ಆ ಊರಿನವರ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿತ್ತು. ಅನೇಕರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಸಲವೂ ಹೊಸ ಹೊಸ ದಾರಿಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ ಕೊನೆಗೆ ಪ್ರಾರಂಭದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಮುಟ್ಟಲು ಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಎಷ್ಟೇ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೂ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ತಿಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಜಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರ ಇದೆಯೆ ಎಂಬುದೂ ಅವರಿಗೆ ಗೊತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಗೆ ಆ ಊರಿನ ಮೇಯರ್, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಊರಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಬಳಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋದ. ಗಣಿತಜ್ಞ ಅದನ್ನು ನೋಡಿದವನೇ ಒಂದು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆದು, ತುಸು ಹೊತ್ತು ದಿಟ್ಟಿಸಿನೋಡಿ, ನಂತರ ಐದಾರು ಸಾಲು ಗಣಿತವನ್ನು ಬರೆದು ಮೇಯರನಿಗೆ ವಾಪಸು ಕೊಟ್ಟುಬಿಟ್ಟ. ಇದೇನು ಎಂದು ಅಚ್ಚರಿಯಿಂದ ನೋಡುತ್ತ ನಿಂತಿದ್ದ ಮೇಯರನಿಗೆ ಆ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹೇಳಿದ: “ಒಂದು ಜಾಗದಿಂದ ಶುರುಮಾಡಿ ಎಲ್ಲ ಏಳು ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಮಾತ್ರ ದಾಟಿ ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಬರುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣಿತದ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಿದ್ದೇನೆ. ನಾನು ಅಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವುದೇ ಆ ಗಣಿತಸಾಧನೆ!” ಮೇಯರ್ ಸಾಹೇಬನಿಗೆ ನಿಜಕ್ಕೂ ಅಚ್ಚರಿಯಾಯಿತು. ಊರವರು ಹಲವು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ ಒಂದು ನೈಜ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕೇವಲ ಹಾಳೆ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರ ಬರೆದು, ನಾಲ್ಕೈದು ಸಾಲುಗಳ ಸಾಧನೆ ಬರೆದು ಇತಿಶ್ರೀ ಹಾಕುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆಯೆ?.

ನಿಜಕ್ಕೂ ಆದದ್ದೇನೆಂದರೆ ಮೇಯರ್ ಹೇಳಿದ ವಾಸ್ತವ ಜಗತ್ತಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಗಣಿತಜ್ಞ (ಅವನ ಹೆಸರು: ಲಿಯೋನಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್) ಒಂದು ಗಣಿತದ ಚಿತ್ರವನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ. ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಭೂಭಾಗಗಳು ಬಿಂದುಗಳಾದವು; ಆ ಭೂಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಸೇತುವೆಗಳು ಗೆರೆಗಳಾದವು. ಇವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಯ್ಲರ್ ವರ್ಟೆಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ನೋಡ್) ಮತ್ತು ಎಡ್ಜ್ ಎಂದು ಕರೆದ. ಹೀಗೆ ಪ್ರೆಜೆಲ್ ನದಿಯ ಸೇತುವೆಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಗೆರೆಗಳ ಒಂದು ಚಿತ್ರಸಮಸ್ಯೆಯಾಯಿತು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಟು ಮತ್ತೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಾಪಸು ಬರಲು ಎರಡು ಗೆರೆಗಳು ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಣೆ ಆಗಿರಬೇಕು (ಒಂದು – ಆ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಹೋಗಲು, ಇನ್ನೊಂದು – ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಾಪಸು ಬರಲು). ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿರುವ ಒಟ್ಟು ಗೆರೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಎನ್ನೋಣ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಡಿಗ್ರಿ 2; ಮೂರು ಗೆರೆ/ರೇಖೆಗಳಿದ್ದರೆ ಡಿಗ್ರಿ 3. ಅರ್ಥಾತ್, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊರಟು ಮತ್ತೆ ಅಲ್ಲಿಗೆ ವಾಪಸು ಬರಬೇಕಾದರೆ ಆ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿ ಇರಬೇಕು. ಆದರೆ ಮೇಯರ್ ಹೇಳಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ – ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿದ್ದವು. ಅಂದ ಮೇಲೆ, ಆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸಾಬೀತಾಯಿತಲ್ಲ? ಹೀಗೆ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯುವುದೂ ಯುಕ್ತಿಯೇ.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಧ್ಯಾಯವಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲಿಸುವುದು, ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು ಯಾವುದು ಚಿಕ್ಕದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು – ಇವೆಲ್ಲ ಆ ಅಧ್ಯಾಯದ ವಿಷಯಗಳು. ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ನಡುವೆ ಇನ್ನೊಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದೆ/ತೂರಿಸಬಹುದೆ ಎಂಬುದೂ ಆ ಅಧ್ಯಾಯದ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1/2 ಮತ್ತು 1/4ರ ನಡುವೆ ಬರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಯಾವುದು? 1/3 ಎಂದು ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ಹೇಳಬಹುದು. ಆದರೆ 3/7 ಮತ್ತು 5/13 – ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ಬರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಬರೆಯಿರಿ ಎಂದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ. ಕೇವಲ ಯೋಚಿಸಿ/ಅಂದಾಜಿಸಿ ಉತ್ತರ ಹೇಳುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳ ಲಘುತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದು ಉತ್ತರ ಬರೆಯಬೇಕು. ಆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದಾಗ 37/91 ಎಂಬ ಉತ್ತರ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸರಾಸರಿಯು ಆ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿಳಿವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ನಾವು ಉತ್ತರ ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ನೇರವಾದ ವಿಧಾನವಾಯಿತು. ಈ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲೂ ಮಾಡಬಹುದು: ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ದಶಮಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. 5/13 = 0.384 ಮತ್ತು 3/7 = 0.428 ಆಯಿತು. ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು 0.4. ಇದನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ 4/10 ಅಥವಾ 2/5 ಆಯಿತು. ಇದು ಕೊಟ್ಟ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ನಡುವೆ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈಗ ಇದೇ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಯುಕ್ತಿಯಿಂದ ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು ನೋಡೋಣ. ಎರಡೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕೂಡಿಸಿ ಹೊಸ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಬರೆದರಾಯಿತು. ಅಂದರೆ, 3+5 = 8, 7+13 = 20. ಅರ್ಥಾತ್ 5/13 < 8/20 = 2/5 < 3/7. ಎ/ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ/ಡಿ ಎಂಬವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾದರೆ ಹಾಗೂ ಎ/ಬಿ < ಸಿ/ಡಿ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ, ಎ/ಬಿ < (ಎ+ಸಿ)/(ಬಿ+ಡಿ) < ಸಿ/ಡಿ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧಾನ ಇದ್ದೇ ಇದೆ. ಆದರೆ ಅದರ ಹೊರತಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ರೀತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಳತೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಇರುವ ಎರಡು ಗ್ಲಾಸುಗಳ ತುಂಬ ನೀರು ಹಾಕಿ ಎರಡಕ್ಕೂ ಒಂದಷ್ಟು ಉಪ್ಪು ಸೇರಿಸೋಣ. ಉಪ್ಪಿನ ಪ್ರಮಾಣವೂ ಒಂದೇ ಇರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಉಪ್ಪು, ನೀರಿನೊಡನೆ ವಿಲೀನವಾಗಿ ಉಪ್ಪುನೀರು ಆಗುತ್ತದೆ. ಉಪ್ಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಆ ನೀರಿಗೆ ಲವಣತೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಉಪ್ಪಿನ ಪ್ರಮಾಣ ಜಾಸ್ತಿಯಾದರೆ ಜಾಸ್ತಿ ಲವಣತೆ. ಎರಡೂ ಗ್ಲಾಸುಗಳ ಲವಣತೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಆಗಿರಲಿ (ಮತ್ತು ಎ < ಬಿ ಆಗಿರಲಿ). ಎರಡೂ ಗ್ಲಾಸುಗಳ ನೀರನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಪಾತ್ರೆಗೆ ಹಾಕಿದಾಗ ಅದರ ಲವಣತೆ ಎ-ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿ-ಗಿಂತ ಕಡಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅರ್ಥಾತ್ ಅದರ ಲವಣತೆ ಸಿ ಆಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎ < ಸಿ < ಬಿ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಿ-ಯ ಲವಣತೆಯನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು: ಎರಡೂ ಗ್ಲಾಸುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಉಪ್ಪು/ಎರಡೂ ಗ್ಲಾಸುಗಳಲ್ಲಿರುವ ನೀರು ಎಂಬ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲವೆ? ಇದು ಅರ್ಥವಾದರೆ ಮೇಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೂ ಸಾಧನೆ ಸಿಕ್ಕಿದಂತೆಯೇ. ಹೀಗೆ ಲವಣತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಾಧನೆ ಬರೆಯುವುದೇ ಯುಕ್ತಿ!

ಯುಕ್ತಿ ಎಂದರೆ ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದ್ದನ್ನು, ವಿಜ್ಞಾನದ ಯಾವ ನಿಯಮಗಳಿಗೂ ಕುಂದುಂಟಾಗದಂತೆ ಸಾಧಿಸುವುದು. ಹಾಗೆಂದ ಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ಇದು ‘ಶಾರ್ಟ್ ಕಟ್’ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕಿಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರ ತೆಗೆಯಲು ಎಲ್ಲ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನೂ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋಗುವುದೇ ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿರಬಹುದು. ಇನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಿತ್ರ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಅಥವಾ ಯಾವುದಾದರೂ ಕೋಷ್ಟಕ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು (ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕೋಷ್ಟಕ ಕೂಡ ಯುಕ್ತಿಯೇ). ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೂತ್ರ ಬರೆದು ಉತ್ತರ ತೆಗೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಇನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅದರ ಪಾಡಿಗೆ ಬಿಟ್ಟು ಅದರ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನಷ್ಟೇ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಉತ್ತರ ತೆಗೆದು – ಆ ಮೂಲಕ ಮೂಲ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪರಿಹಾರ ಪಡೆಯಬೇಕಾಗಬಹುದು. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಯುಕ್ತಿಯ ಹಲವು ವಿಧಗಳು.

ಪ್ರಶ್ನೆ:

(1) ನಿಮ್ಮ ಕೋಣೆಯ ಎಲ್ಲ ವಸ್ತುಗಳೂ ಯದ್ವಾತದ್ವಾ ಬಿದ್ದಿವೆ ಎನ್ನಿ – ಅವನ್ನೆಲ್ಲ ಸರಿಪಡಿಸಿ ಕೋಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪ-ಓರಣ ಮಾಡುವ ಬಗೆ ಯಾವುದು? ಯಾವ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿವ್ಯಯ ಹಾಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮ?
(2) ಪ್ರತಿ ದಿನ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾಗುವ ಸುಡೊಕು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಿಡಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವೆ?